Placement robuste et optimal de capteurs pour les problèmes inverses bayésiens non-linéaires

IFP Energies nouvelles (IFPEN) est un acteur majeur de la recherche et de la formation dans les domaines de l’énergie, du transport et de l’environnement. Depuis les concepts scientifiques en recherche fondamentale jusqu’aux solutions technologiques en recherche appliquée, l’innovation est au cœur de son action, articulée autour de quatre orientations stratégiques : climat, environnement et économie circulaire ; énergies renouvelables ; mobilité durable ; hydrocarbures responsables.

Dans le cadre de la mission d’intérêt général confiée par les pouvoirs publics, IFPEN concentre ses efforts sur l’apport de solutions aux défis sociétaux et industriels de l’énergie et du climat, au service de la transition écologique. Partie intégrante d’IFPEN, IFP School, son école d’ingénieurs, prépare les générations futures à relever ces défis.

Placement robuste et optimal de capteurs pour les problèmes inverses bayésiens non-linéaires

Contexte et enjeux

L’optimisation du placement de capteurs (Optimal Experimental Design - OED) est une étape primordiale pour les problèmes inverses bayésiens, où l’on cherche à actualiser la connaissance de paramètres incertains en combinant des données expérimentales et un modèle physique, généralement régi par des équations aux dérivées partielles (EDP). Lorsque le modèle d’observation présente des incertitudes additionnelles (erreurs de modèle ou paramètres de nuisance), il est nécessaire de formuler un problème de conception d’expériences robuste (ROED) en adoptant une approche pire cas, c’est-à-dire une optimisation de type max-min.

La résolution de ce problème combinatoire est extrêmement exigeante d’un point de vue calculatoire. Des approches récentes proposent de formuler ce problème d’optimisation de manière probabiliste pour les problèmes inverses linéaires avant d’être étendues aux cadres non-linéaires en dimension infinie. Plus spécifiquement, la modélisation de la configuration des capteurs comme une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli conditionnelle permet d’utiliser des méthodes d’optimisation basées sur le gradient, garantissant le respect strict de la contrainte de budget sans avoir à recourir à des méthodes de pénalité.

Objectif du stage

L’objectif principal de ce stage est d’étudier cette nouvelle méthodologie de ROED probabiliste pour les problèmes inverses non-linéaires [2] et de la reproduire intégralement sur des cas "jouets" maison.

Ce travail permettra de comprendre finement l’architecture algorithmique, de maîtriser le coût calculatoire lié aux EDP et d’évaluer la robustesse des solutions obtenues face aux paramètres de nuisance.

Travail demandé

L’étudiant(e) sera amené(e) à réaliser les tâches suivantes :

• Appropriation du cadre mathématique de l’inversion bayésienne en dimension infinie, incluant l’utilisation de l’approximation de Laplace pour la caractérisation de la mesure a posteriori.
• Implémentation du calcul de l’utilité, définie par le gain d’information attendu.
• Développement de l’analyse de sensibilité par la méthode de l’adjoint (incrément de l’état et de l’adjoint) pour évaluer de manière efficace le Hessien de la fonction coût.
• Mise en oeuvre d’une approximation de rang faible du Hessien pour accélérer le calcul du gain d’information espéré.
• Développement de l’algorithme d’optimisation ROED en utilisant une formulation probabiliste où le budget maximal de capteurs est strictement géré par une distribution de Bernoulli conditionnelle.
• Résolution du problème d’optimisation de type pire cas (max-min) via l’algorithme de Polyak.
• Validation numérique sur des codes maison appliqués à des modèles EDP simples en 1D ou 2D.

Pré-requis

Solides connaissances en mathématiques appliquées : probabilités, statistiques bayésiennes, et optimisation continue.

• Notions en équations aux dérivées partielles et en méthodes de résolution numérique (éléments finis ou différences finies).
• Maîtrise d’un langage de programmation scientifique (Python, R, C, etc.).