Matrices hiérarchiques pour les problèmes de convection-diffusion

IFP Energies nouvelles (IFPEN) est un acteur majeur de la recherche et de la formation dans les domaines de l’énergie, du transport et de l’environnement. Depuis les concepts scientifiques en recherche fondamentale jusqu’aux solutions technologiques en recherche appliquée, l’innovation est au cœur de son action, articulée autour de quatre orientations stratégiques : climat, environnement et économie circulaire ; énergies renouvelables ; mobilité durable ; hydrocarbures responsables.

Dans le cadre de la mission d’intérêt général confiée par les pouvoirs publics, IFPEN concentre ses efforts sur l’apport de solutions aux défis sociétaux et industriels de l’énergie et du climat, au service de la transition écologique. Partie intégrante d’IFPEN, IFP School, son école d’ingénieurs, prépare les générations futures à relever ces défis.

Matrices hiérarchiques pour les problèmes de convection-diffusion

La simulation numérique est un outil stratégique puisqu'indispensable à la recherche et à de nombreuses applications industrielles qui requièrent la résolution d'écoulements multiphasiques. La performance de ces simulateurs est donc un enjeu majeur.

D'un point de vue mathématique, le problème à résoudre est un système d'équations algébriques non linéaires. La résolution de ce système est obtenue à l'aide de l'algorithme de Newton basé sur le calcul de matrices jacobiennes.

La méthodologie employée conduit ainsi à la résolution de nombreux systèmes linéaires de grande taille. Au vu de ces complexités, la précision des simulations dépend alors de la qualité des données, de la représentation des phénomènes physiques, de l'efficacité des algorithmes numériques. Pour atteindre cette précision et permettre des simulations en des temps réalistes, il est crucial de disposer de solveurs linéaires efficaces, robustes et peu consommateurs en temps CPU.

Depuis une dizaine d'années, de nouvelles méthodes de résolution dites méthodes H-matrices ont émergé pour permettre de réduire le coût algorithmique des opérations algébriques élémentaires appliquées à des matrices denses. Une nouvelle approche développée par E.Darve propose une méthode de préconditionnement se présentant comme une extension hiérarchique de la factorisation LU incomplète. La méthode des H-matrices a été introduite et justifiée dans le cadre de problèmes purement elliptiques, et permet de calculer rapidement un inverse approché d'une matrice pour l'utiliser comme préconditionneur.

Dans le cadre de ce stage, nous nous intéressons aux techniques de compression pour les problèmes de convection-diffusion dans un régime convection dominante où les systèmes linéaires engendrés sont creux. Les rares cas de convection-diffusion traités dans la littérature abordent surtout la situation des champs constants de vitesses de convection. Elles auront vocation à être utilisées soit dans le calcul de l’inverse approché comme un préconditionneur ou bien dans la construction de ce dernier comme ILU(k).

Méthodologie

Une première phase de documentation permettra au candidat de s'approprier le sujet des techniques liées aux matrices hiérarchiques.

Ensuite, on considèrera que la matrice inverse du système linéaire à préconditionner est donnée, et on se concentrera sur la mise en place d'un code de compression hiérarchique robuste. Nous nous baserons sur les briques existantes comme la librairie HTool développée au laboratoire Jacques-Louis Lions.