La théorie de Galois
Nicolas Markey
Mémoire publié en 2000 - 63 pages


Résumé

Le théorème de Galois établit une corespondance entre certains corps et des groupes associés. L'étude de ces groupes associés et de leurs sous-groupes permet d'obtenir de nombreuses informations sur le corps initial et ses sous-corps. L'intérêt réside dans le fait que l'etude des corps est très difficile alors que l'étude des groupes et de leurs sous-groupes est plus simple, grace à la théorie des groupes et notamment aux théorèmes de Sylow.

Applications

La théorie de Galois a permis de résoudre de nombreux problèmes où intervenaient des corps. Deux de ces problèmes sont évoqués ici :

- la résolution de polynômes par radicaux : en étudiant le corps de décomposition d'un polynôme, et en lui appliquant le théorème de Galois, on prouve que les seuls polynômes résolubles par radicaux sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 4.

- les constructions à la règle et au compas : ce problème, si simple qu'il puisse paraître, n'a été réellement résolu qu'avec l'apparition de la théorie de Galois. Les corps considérés sont ceux engendrés par les coordonnées des points déjà construits, ou des points de base au départ. On peut alors montrer que les seuls corps que l'on peut obtenir sont les extensions du corps initial dont le degré est une puissance de 2, et que tous ceux-la sont "constructibles". C'est ainsi que l'on montre que la quadrature du cercle est impossible mais que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas.


Nous vous rappelons que le téléchargement des travaux (mémoires et thèses) présentés sur le site iQuesta.com est destiné à un usage strictement privé. Toute reproduction desdits travaux pour un usage autre que privé effectuée sans le consentement de l'auteur constitue une contrefaçon susceptible d'entraîner des sanctions à votre encontre (articles L.122-4, L.122-5, L.335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle).

Contact

Nicolas Markey


n/a