[Mémoire publié en 1997 - 59 pages]

Résumé :

On regrette souvent -à juste titre- que l'explosion de la recherche mathématique conduise les chercheurs à ignorer les travaux qui ne concernent pas immédiatement leur domaine. Ce cloisonnement est évidemment dommageable car de bonnes idées dans un domaine peuvent être transposées pour répondre à d'autres questions. La richesse et l'efficacité de la topologie algébrique en sont certainement les meilleures preuves. Au carrefour de plusieurs disciplines (topologie, algèbre, géométrie, calcul différentiel, arithmétique...), cette science jeune a su exploiter les outils que les mathématiciens des siècles passés ont forgé pour les adapter à de nouveaux problèmes. C'est à un exercice de transposition de problème auquel nous nous livrons ici. Partons d'un problème à première vue géométrique presque physique : les noeuds. On souhaite savoir quand on peut transformer un noeud en un autre. Ce problème de classification débouche rapidement sur un problème de topologie puis sur un problème d'algèbre (avec un peu d'arithmétique) où il s'y formule naturellement et où des armes sont toutes prêtes pour l'attaquer. Il y a évidemment beaucoup à dire sur la théorie des noeuds qui fait encore l'objet de nombreux travaux. Mais avant tout gardons à l'esprit le sens méta-mathématique à donner à la démonstration qui va suivre : une défense de l'unité des mathématiques face à ceux qui l'accusent de disparité...